El método de la secante

 

Hola!

Continuando con el tema de la entrada anterior, el cálculo de raíces de polinomios, vuelvo con otro método: El de la secante

Es bastante similar al de Newton-Raphson, pero con alguna diferencia. En este caso no es necesario hallar la función derivada, lo cual puede ser de gran ayuda según sea la función. Lo que sí necesitamos son dos puntos de partida, mientras que en N-R solo necesitamos uno.

La fórmula que rige la iteración es algo más larga, pero sencilla:

Imagen

Para el mismo ejemplo de antes, f(x)= 8×3 + 2×2 – 5x -6 , tomamos como X0=0 y X1=1. A partir de ahí, con una programación en Excel del método obtenemos los siguientes resultados:

Imagen

Se obtiene el mismo resultado que por el otro método, algo bastante obvio. También se obtiene con menos iteraciones porque, sabiendo más o menos por donde estará la raíz, se pueden poner ya los X0 y X1 adecuados.

 

Imagen

La Wikipedia nos muestra este ejemplo en el que se ve X0 y X1, que son los puntos inventados por uno mismo para empezar a trabajar. Para cada uno de ellos se calcula su imagen, y se unen con una recta (Azul). El corte de esa recta con el eje X nos da el siguiente punto (Xi+1). Se calcula su imagen f(xi+1), y  de nuevo entre esa imagen y f(xi) se traza otra recta hasta que corte con el eje X. Vemos que ese punto X3 está más lejos de la raíz que X2. Habría que hallar su imagen f(x3) y continuar con el proceso hasta convergencia ( Xi+1 – Xi ) lo suficientemente pequeño.

¿Cómo se programa la tabla Excel?

Cada uno puede hacerlo como mejor le parezca. La forma más sencilla que se me ocurre es esta:

comosehaceexcel

 

Los términos verdes de la iteración 1 son los inventados para empezar. A la derecha se ha programado la resta entre los valores xk+1 y xk, así como la función en los puntos xk y xk-1.  El valor del recuadro rojo de la primera iteración es la fórmula en sí misma : xk (verde)- (xk- xk-1). (f(x)/f(x)- f(x-1)).

Los valores de f(x) y f(x-1) son los del polinomio, insertado tal como se ve en la barra superior.

Para la segunda iteración se le indica al programa que el recuadro rojo debe tener el mismo valor que el rojo de la iteración anterior. Lo mismo con el verde. Obtenemos el amarillo.

Para la tercera iteración le decimos que el valor amarillo debe ser el mismo que en la iteración anterior y así sucesivamente hasta que en la columna central el valor de la resta entre Xk y Xk-1 sea nulo o muy cercano (la precisión la elegiremos nosotros).

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