El método de Newton-Raphson

Hola!

Para empezar con el contenido de este blog y ver cómo funciona todo esto he elegido algo muy sencillo y que es a la vez muy útil. Se trata de un método para el cálculo de raíces de funciones. En este caso será el polinomio f(x) = 8×3 + 2×2 – 5x – 6

El método de Newton-Raphson se basa en elegir una aproximación inicial para posteriormente iterar de la siguiente manera:

Imagen

Donde f(xk) es la función de la que queremos saber la raíz, f'(xk) es su derivada, xk es el término k-esimo y el xk+1, el siguiente en la iteración. Cuando la diferencia entre términos sea lo suficientemente buena, dejaremos de iterar. Esto se puede hacer fácilmente en una hoja de excel.

Imagen

 

En esta imagen vemos cómo funciona: Para un punto Xn hay una imagen, f(Xn). Si se calcula la derivada en ese punto, f’ (Xn), conseguimos el punto Xn+1, más cercano a la raíz que su anterior, Xn. Haciendo esto el suficiente número de veces, llegamos a la solución buscada. Despejando de la ecuación origina f'(x), vemos que es la pendiente f(Xn) = Altura  dividido entre (Xn- Xn+1) = Base.

Para nuestro pequeño ejemplo, quedaría tal que así:

Imagen

 

Los problemas que este método presenta los revela la Wikipedia de manera inmejorable :

El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. 

En este caso hemos empezado con un valor inicial 20, y en pocas iteraciones ha convergido. Esto se debe a que es una función polinómica bastante sencilla.

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